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向量积，又称外积或叉积，是向量代数中的一种基本运算。在二维和三维空间中，向量积的运算结果是一个向量，其大小与两个原始向量的夹角的正弦值（sin）有关。那么，为什么向量积要乘以sin呢？ 首先，让我们从几何角度来理解向量积。在三维空间中，两个非共线向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于这两个原始向量构成的平面。这种性质使得向量积在描述物体旋转和力的作用方向时具有重要意义。 当我们计算向量积的大小时，实际上是在寻找一个与原向量垂直的面积。这个面积可以看作是一个平行四边形，其边长分别是两个原向量的长度。根据三角形的面积公式，面积等于底乘以高除以2。在这个情况下，“底”是一个向量的长度，“高”则是另一个向量在垂直方向上的投影长度。 这里就引入了sin的概念。在二维空间中，一个向量在另一个向量垂直方向上的投影长度，实际上就是它的长度乘以它们夹角的正弦值。因此，向量积的大小可以表示为：向量1的长度 × 向量2在垂直于向量1的方向上的投影长度 × sin(向量1和向量2之间的夹角)。 由于向量积的方向垂直于向量1和向量2构成的平面，其大小正好等于这两个向量构成的平行四边形的面积。而sin函数在这里起到了一个关键的作用：它确保了当两个向量的夹角为0度或180度时，向量积为0，这与直观上两个共线向量不会产生旋转效应是一致的。 总结来说，向量积乘以sin的原因在于，它能够准确地反映两个向量之间夹角的几何关系，并由此推导出旋转效应或力的垂直分量。这一性质在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。