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在数学分析中，自然对数函数 ln x 是一个非常重要的函数。其导数具有一个非常简洁和优美的特性，即 ln x 的导数恰好是 1/x。这一性质不仅在数学理论研究中具有重要意义，也在工程、物理等多个领域有着广泛的应用。 自然对数函数 ln x 定义在 x > 0 的区间内，表示 e 的幂等于 x 的那个数，其中 e 是自然对数的底数，大约等于 2.71828。当我们讨论这个函数的导数时，我们实际上是在探讨 x 轴上某一点的切线斜率。 根据导数的定义，ln x 的导数可以通过极限的概念来求解。具体来说，ln x 的导数是以下极限的值： lim (ln(x + Δx) - ln(x)) / Δx, 当 Δx 趋近于 0 通过运用对数减法的性质 ln(a) - ln(b) = ln(a/b)，我们可以将上述表达式简化为： lim ln((x + Δx) / x) / Δx = lim ln(1 + Δx/x) / Δx 当 Δx 趋近于 0 时，根据泰勒展开式，我们可以将 ln(1 + Δx/x) 近似为 Δx/x，因此： ln x 的导数 ≈ (Δx/x) / Δx = 1/x 事实上，通过更严谨的数学推导，我们可以得到 ln x 的确切导数就是 1/x。这一结果不仅简洁，而且非常有用。它意味着当 x 增大时，自然对数函数的切线斜率逐渐减小，反之亦然。 总结来说，自然对数函数 ln x 的导数为 1/x，这一性质在数学及其它科学领域有着广泛的应用。它不仅帮助我们理解函数的变化趋势，还在求解实际问题中扮演着关键角色。