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三次函数是数学中的一种重要函数形式，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。为了更好地理解和运用三次函数，以下是一些必须掌握的公式。
首先，三次函数的一般形式为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，且a ≠ 0。这个公式是三次函数的基础，任何三次函数的解析式都可以表示为这种形式。
其次，三次函数的导数和二阶导数也非常重要。导数f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c用于研究函数的增减性，而二阶导数f''(x) = 6ax + 2b则有助于分析函数的凹凸性。
接下来，三次函数的极值点是函数图像的关键部分。极值点可以通过求解一阶导数f'(x) = 0得到。对应的x值即为可能的极值点。要确定这些点是极大值还是极小值，可以通过二阶导数的符号来判断：如果f''(x) > 0，则为极小值点；如果f''(x) < 0，则为极大值点。
此外，三次函数的图像通常具有以下特点：有一个局部极大值和一个局部极小值，且函数图像在极大值和极小值之间穿过x轴。这意味着三次函数可以有三个实数根，这可以通过求解方程f(x) = 0来确定。
最后，三次函数的判别式Δ = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2对于分析函数的根的性质至关重要。根据Δ的值，三次函数的根可能是三个不等实数、一个重根和两个不等实数、或三个相等实数。
总结来说，掌握三次函数，我们需要熟知其一般形式、导数、极值点、图像特点以及判别式。这些公式和概念构成了理解和解决三次函数相关问题的关键。
通过深入学习和实践，我们可以更加熟练地运用这些公式，解决实际问题，并在数学领域取得更大的进步。