引言
SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法是一种改进的Gauss-Seidel方法，通过调整松弛因子w来加速收敛速度。在科学计算和工程领域中，线性方程组的求解是一个常见问题，SOR迭代法因其高效的收敛性而被广泛应用。本文将详细介绍SOR迭代算法的原理，并提供C语言编程实战指南。
SOR迭代算法原理
SOR迭代法的基本思想是在Gauss-Seidel迭代的基础上引入松弛因子w，以改善迭代过程的收敛性。对于线性方程组Ax=b，SOR迭代法的基本步骤如下：
- 初始化：设定初始解向量x0，误差阈值tolerance，最大迭代次数maxiter，松弛因子w（通常取1到2之间的值）。
- 迭代计算：重复以下步骤直到满足收敛条件：
- 计算松弛迭代：
x_{i+1} = (1-w) * x_i + w * (b - A * x_i) / A_{ii} - 更新解向量x。
- 计算松弛迭代：
- 检查收敛性：如果当前解向量x与上一次迭代解向量x_i的误差小于阈值tolerance，则认为已收敛；否则，继续迭代。
C语言编程实战指南
以下是一个使用C语言实现的SOR迭代法示例程序：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAXITER 1000
#define EPSILON 1e-6
void sor(double A[][3], double b[], double x[], int n, double w) {
double temp[3];
int i, j, iter;
for (iter = 0; iter < MAXITER; iter++) {
for (i = 0; i < n; i++) {
temp[i] = (1 - w) * x[i];
for (j = 0; j < n; j++) {
if (i != j) {
temp[i] += w * (A[i][j] * x[j]);
}
}
temp[i] += w * (b[i] / A[i][i]);
if (fabs(temp[i] - x[i]) > EPSILON) {
x[i] = temp[i];
}
}
if (fabs(temp[0] - x[0]) < EPSILON && fabs(temp[1] - x[1]) < EPSILON && fabs(temp[2] - x[2]) < EPSILON) {
break;
}
}
}
int main() {
double A[3][3] = {{1.1, 0.0, 0.0}, {0.0, 1.1, 0.0}, {0.0, 0.0, 1.1}};
double b[3] = {0.5, 0.5, 0.5};
double x[3] = {0.0, 0.0, 0.0};
double w = 1.25; // 松弛因子
sor(A, b, x, 3, w);
printf("Solution:\n");
for (int i = 0; i < 3; i++) {
printf("x[%d] = %f\n", i, x[i]);
}
return 0;
}
在上述程序中，我们定义了一个3x3的系数矩阵A，一个常数向量b，以及一个初始解向量x。松弛因子w取1.25。通过调用sor函数，我们可以计算出方程组的解向量x。
总结
通过本文，我们了解了SOR迭代算法的原理和C语言编程实战指南。在实际应用中，可以根据具体问题调整松弛因子w和误差阈值tolerance，以提高算法的收敛速度和精度。