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在數學跟物理學中，向量的乘法有多種情勢，其中一種特其余情勢是向量乘以其共軛向量。那麼，向量乘向量的共軛畢竟等於什麼呢？ 起首，我們須要明白什麼是向量的共軛。在複數域中，一個復向量的共軛是將向量中每個複數元素的虛部取相反數。假如向量是實數向量，則它的共軛就是它本身。 當我們念刀向量乘以其共軛時，平日指的是內積或點積。對兩個向量a跟b，它們的內積定義為a·b = |a||b|cosθ，其中|a|跟|b|分辨是向量a跟b的模長，θ是它們之間的夾角。 若向量a的共軛為a*，那麼a與a的內積可能寫作a·a。根據內積的定義，我們曉得，向量與其共軛的內積等於向量模長的平方，即|a|^2。這是因為向量與其共軛的夾角θ為0度，cos(0°) = 1，所以a·a* = |a||a*|cos0° = |a|^2。 在物理意思上，向量與其共軛的內積表示向量在本身偏向上的投影，而這個投影的模長就是該向量的模長。這意味著，向量的共軛乘積反應了向量本身能量的器量。 總結來說，向量乘以其共軛的成果是一個標量，這個標量等於向量模長的平方。這一性質在純數學跟利用數學的多個範疇都有重要利用，如在量子力學中描述粒子的狀況，以及在旌旗燈號處理平分析旌旗燈號的功率。 我們應當注意的是，這裡的探究假設了向量的內積是持續的，並且向量存在於實數或複數域中。