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在三維空間中，若要證明三個向量共面，其中一個須要的數學前提是這三個向量的混淆積等於零。本文將具體闡述這一證明過程。
起首，我們定義三個向量a、b、c，它們分辨表示為a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，c = (c1, c2, c3)。向量共面意味著存在實數λ跟μ，使得向量c可能表示為向量a跟向量b的線性組合，即c = λa + μb。
根據混淆積的定義，三個向量a、b、c的混淆積J定義為：J = a × b · c，其中「×」表示向量叉乘，「·」表示向量點乘。若J = 0，則可能證明向量a、b、c共面。
接上去，我們利用向量的叉乘跟點乘性質來證明這一前提。因為c可能表示為a跟b的線性組合，我們有：
c = λa + μb
取向量a跟b的叉乘，掉掉落向量n = a × b。向量n垂直於向量a跟向量b地點的平面。因此，向量c與向量n的點乘成果可能表示為：
n · c = n · (λa + μb) = λ(n · a) + μ(n · b)
因為向量n垂直於向量a跟向量b，n · a跟n · b都等於零。因此，n · c = 0，即混淆積J = a × b · c = 0，證明白向量a、b、c共面。
總結來說，三個向量共面的一個充分須要前提是它們的混淆積等於零。這一數學東西在處理多少何成績跟線性代數成績時非常有效，幫助我們懂無暇間中向量的關係。