【C语言入门必学】轻松掌握Butterworth滤波器原理与实现

引言

Butterworth滤波器因其平坦的通带和滚降特性在信号处理领域得到了广泛应用。本文旨在帮助C语言入门者了解Butterworth滤波器的原理，并提供一个简单的实现方法。

一、Butterworth滤波器原理

1.1 概述

Butterworth滤波器是一种无限脉冲响应（IIR）滤波器，它以最大平坦的频率响应特性而闻名。这种滤波器在通带内提供最平坦的响应，并且具有最小可能的最大衰减。

1.2 数学模型

Butterworth滤波器的传递函数可以用以下公式表示： [ H(s) = \frac{1}{a0 \left(1 + \sum{n=1}^{N} a_n q^n\right)} ] 其中，( a_0 ) 是直流增益，( a_n ) 是滤波器的系数，( q ) 是归一化频率。

1.3 设计步骤

设计Butterworth滤波器通常涉及以下步骤：

• 确定滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）和截止频率。
• 计算滤波器的阶数和截止频率。
• 使用巴特沃斯公式计算滤波器的系数。

二、C语言实现

2.1 设计滤波器

首先，我们需要设计一个低通Butterworth滤波器。以下是一个简单的C语言函数，用于计算滤波器的系数：

void butterworth_lowpass_coefficients(double wc, int N, double *b, double *a) {
    double a0 = 1.0;
    double q = wc / (0.707 * sqrt(N));
    int n;

    *a = a0;
    for (n = 1; n <= N; n++) {
        a[n] = pow(q, n) / factorial(n);
    }

    *b = 1.0;
    for (n = 1; n <= N; n++) {
        b[n] = a[n];
    }
}

double factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) {
        return 1.0;
    }
    return n * factorial(n - 1);
}

2.2 滤波器实现

接下来，我们可以使用以下C语言代码实现滤波器：

void butterworth_lowpass_filter(double *input, double *output, int N, double *b, double *a) {
    double x0 = input[0], x1 = 0.0, y0 = output[0], y1 = 0.0;

    for (int n = 1; n < N; n++) {
        double x_n = input[n];
        double y_n = (b[0] * x_n + b[1] * x1 - a[1] * y0 - a[2] * y1) / a[0];
        x1 = x_n;
        y1 = y0;
        y0 = y_n;
        output[n] = y_n;
    }
}

2.3 使用滤波器

以下是如何使用上述函数来滤波一个信号：

int main() {
    double wc = 0.5; // 截止频率
    int N = 2;       // 滤波器阶数
    double b[3], a[3];

    butterworth_lowpass_coefficients(wc, N, b, a);

    double input[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    double output[N + 1];
    butterworth_lowpass_filter(input, output, N, b, a);

    // 打印输出结果
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        printf("Output[%d]: %f\n", i, output[i]);
    }

    return 0;
}

三、总结

本文介绍了Butterworth滤波器的原理和在C语言中的实现。通过上述示例，C语言入门者可以了解如何设计并实现一个简单的Butterworth滤波器。通过实践这些概念，可以加深对信号处理和滤波器设计的理解。